Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

      98

Bài viết trình bày bí quyết tính khoảng cách xuất phát điểm từ 1 điểm đến một con đường thẳng trong mặt phẳng cùng khuyên bảo vận dụng để giải một vài bài toán trắc nghiệm tương quan.

Bạn đang xem: Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

I. PHƯƠNG PHÁPCho điểm $M_0left( x_0;y_0;z_0 ight)$ và đường trực tiếp $Delta :left{ eginarray*20lx = x’ + u_1t\y = y’ + u_2t\z = z’ + u_3tendarray ight.$ $(t in R).$

Cách 1:+ Bước 1: Xác định một vectơ chỉ phương thơm $vec uleft( u_1;u_2;u_3 ight)$ và một điểm $Mleft( x_M;y_M;z_M ight) in Delta .$

*

+ Bước 2: Lúc đó: $dleft( M_0;Delta ight) = fracvec u.$

Cách 2:+ Bước 1: Call $H$ là hình chiếu vuông góc của $M_0$ bên trên $Delta $ (toạ độ $H$ dựa vào một ẩn $t$).

*

+ Bước 2: Xác định $H$ dựa vào: $overrightarrow M_0H .vec u = 0.$$ Rightarrow dleft( M_0;Delta ight) = M_0H.$

Nhận xét: Nếu xử lý bài xích tân oán Theo phong cách 2 thì kỹ thuật với đảm bảo được nhiều trải đời như: khẳng định hình chiếu, viết phương trình con đường trực tiếp vuông góc ….

Hệ quả:+ Khoảng cách thân hai đường trực tiếp tuy vậy song: Cho hai tuyến phố thẳng $Delta _1$ với $Delta _2$ tuy vậy tuy nhiên cùng nhau. Lúc đó: $dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = dleft( A;Delta _2 ight)$ cùng với $A in Delta _1.$

*

+ Khoảng phương pháp thân mặt đường thẳng và khía cạnh phẳng tuy vậy song: Cho con đường trực tiếp $Delta $ cùng phương diện phẳng $(P)$ tuy vậy song cùng nhau. Lúc đó: $d(Delta ;(P)) = d(A;(P))$ với $A in Delta .$

*

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAlấy ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ trường đoản cú điểm $A(1;1;1)$ cho mặt đường thẳng $Delta :fracx1 = fracy – 12 = fracz + 11.$A. $d = fracsqrt 14 2.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = sqrt 14 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Lời giải:+ Cách 1: Xác định hình chiếu vuông góc của $A$ trên $Delta .$Đường thẳng $Delta $ gồm một vectơ chỉ pmùi hương là $vec u_Delta = (1;2;1).$Ta có: $Delta :left{ eginarray*20lx = t\y = 1 + 2t\z = – 1 + tendarray ight..$ điện thoại tư vấn $H(t;1 + 2t; – 1 + t) in Delta $, $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ bên trên $Delta $ $ Leftrightarrow overrightarrow AH .vec u_Delta = 0$ $ Leftrightarrow 6t – 3 = 0$ $ Leftrightarrow t = frac12$ $ Rightarrow Hleft( frac12;1; – frac12 ight).$ Vậy $d = AH = fracsqrt 14 2.$+ Cách 2: Sử dụng phương pháp.Đường thẳng $Delta $ bao gồm một vectơ chỉ pmùi hương là $vec u_Delta = (1;2;1).$Chọn $B(0;1; – 1) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1;0; – 2)$ $ Rightarrow = (4; – 1; – 2).$Lúc đó: $d = fracleftvec u = fracsqrt 14 2.$Chọn đáp án A.

ví dụ như 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đến điểm $A(1;1;1)$ và con đường trực tiếp $Delta :fracx1 = fracy – 12 = fracz + 11.$ Điện thoại tư vấn $M$ là vấn đề bất kỳ trên $Delta $, search quý hiếm nhỏ dại nhất của độ dài đoạn thẳng $AM.$A. $fracsqrt 14 4.$B. $fracsqrt 14 2.$C. $sqrt 14 .$D. $3sqrt 3 .$

Lời giải:Ta có: $AM_min = d(A;Delta ).$Đường thẳng $Delta $ gồm một vectơ chỉ phương thơm là $vec u_Delta = (1;2;1).$Chọn $B(0;1; – 1) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1;0; – 2)$ $ Rightarrow = (4; – 1; – 2).$Lúc đó: $d(A;Delta ) = frac left< overrightarrow AB ,overrightarrow u ight> ightvec u = fracsqrt 14 2$ $ Rightarrow AM_min = fracsqrt 14 2.$Chọn giải đáp B.

lấy ví dụ như 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mang đến hai điểm $A(1;1;1)$, $B(0;1;-1)$ và mặt đường thẳng $Delta :fracx1 = fracy – 12 = fracz + 11.$ Hotline $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ bên trên $Delta $, tính diện tích S $S$ của tam giác $AHB.$A. $S = fracsqrt 21 2.$B. $S = sqrt 6 .$C. $S = fracsqrt 21 4.$D. $S = 3sqrt 3 .$

Lời giải:Đường thẳng $Delta $ gồm một vectơ chỉ pmùi hương là $vec u_Delta = (1;2;1).$Chọn $K(2;5;1) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow AK = (1;4;0)$ $ Rightarrow = (4; – 1; – 2).$Lúc đó: $d(A;Delta ) = frac left< overrightarrow AK ,vec u ight> ight = fracsqrt 14 2$ $ Rightarrow AH = fracsqrt 14 2.$Để ý rằng $B in Delta $ $ Rightarrow Delta ABH$ vuông trên $H$ $ Rightarrow HB = sqrt AB^2 – AH^2 = fracsqrt 6 2.$Vậy $S = frac12AH.HB = fracsqrt 21 4.$Chọn lời giải C.

Xem thêm: Game Ông Hàng Xóm Tinh Nghịch 1, 2, 3 Full Cho Pc, Cách Chơi Neighbours From Hell Trên Điện Thoại

lấy một ví dụ 4: Trong không khí cùng với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;2)$ với đường trực tiếp $Delta :fracx1 = fracy – m2 = fracz + 12$, $m$ là tmê man số thực. Có bao nhiêu cực hiếm nguim của ttê mê số $m$ để khoảng cách trường đoản cú $A$ mang đến $Delta $ bằng $sqrt 2 $?A. $2.$B. $0.$C. $1.$D. Vô số.

Lời giải:Đường trực tiếp $Delta $ có một vectơ chỉ phương thơm là $vec u_Delta = (1;2;2).$Chọn $B(0;m; – 1) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1;m; – 3)$ $ Rightarrow = (2m + 6; – 1; – 2 – m).$Lúc đó: $d = fracleft$ $ = fracsqrt 5m^2 + 28m + 41 3 = sqrt 2 .$$ Leftrightarrow 5m^2 + 28m + 23 = 0$ $ Leftrightarrow m = – 1 vee m = – frac235.$Chọn câu trả lời C.

ví dụ như 5: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, mang lại nhì điểm $P(1;2;3)$, $Q(1;0;-1)$ và đường trực tiếp $Delta :fracx1 = fracy – 12 = fracz + 11.$ call $M$ là vấn đề bất cứ trên $Delta $, kiếm tìm độ lâu năm nhỏ tốt nhất của vectơ $overrightarrow MP + overrightarrow MQ .$A. $fracsqrt 14 2.$B. $frac3sqrt 3 2.$C. $sqrt 14 .$D. $2sqrt 3 .$

Lời giải:Ta có: $overrightarrow MP + overrightarrow MQ = 2overrightarrow MI $ $ Rightarrow |overrightarrow MP + overrightarrow MQ $ $ = 2MI_min = 2d(I;Delta ).$Ta có: $I(1;1;1).$ Đường trực tiếp $Delta $ có một vectơ chỉ pmùi hương là $vec u_Delta = (1;2;1).$Chọn $B(0;1; – 1) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow IB = ( – 1;0; – 2)$ $ Rightarrow = (4; – 1; – 2).$Lúc đó: $d = fracleftvec u = fracsqrt 14 2$ $ Rightarrow |overrightarrow MP + overrightarrow MQ = sqrt 14 .$Chọn giải đáp C.

lấy ví dụ như 6: Trong không khí cùng với hệ tọa độ $Oxyz$, cho con đường trực tiếp $Delta _1:fracx – 12 = fracy – 14 = fracz – 12$ và $Delta _2:fracx1 = fracy – 12 = fracz + 11.$ Tính khoảng cách $d$ giữa $Delta _1$ với $Delta _2.$A. $fracsqrt 14 4.$B. $fracsqrt 14 2.$C. $sqrt 14 .$D. $3sqrt 3 .$

Lời giải:Đường trực tiếp $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = (2;4;2).$Đường trực tiếp $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ pmùi hương là $vec u_2 = (1;2;1).$Chọn $A(1;1;1) in Delta _1$, ta có: $left{ eginarray*20lvec u_1 = 2vec u_2\A in Delta _2endarray ight.$ $ Rightarrow Delta _1//Delta _2$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = dleft( A;Delta _2 ight).$Chọn $B(0;1; – 1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1;0; – 2)$ $ Rightarrow left< overrightarrow AB ,vec u_2 ight> = (4; – 1; – 2).$Lúc đó: $dleft( A;Delta _2 ight) = frac left< overrightarrow AB ,vec u_2 ight> ight vec u_2 ight = fracsqrt 14 2$ $ Rightarrow d = fracsqrt 14 2.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 7: Trong không gian cùng với hệ tọa độ $Oxyz$, đến điểm $K(1;1;1)$ cùng mặt đường trực tiếp $Delta :fracx1 = fracy – 12 = fracz + 11.$ Viết phương trình phương diện cầu trung ương $K$ với xúc tiếp với $Delta .$A. $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = frac72.$B. $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = 7.$C. $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = 14.$D. $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = 8.$

Lời giải:Mặt cầu $(S)$ trọng điểm $K$ cùng xúc tiếp với $Delta $ đề xuất bao gồm bán kính $R = d(K;Delta ).$Đường thẳng $Delta $ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u = (1;2;1).$Chọn $B(0;1; – 1) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow KB = ( – 1;0; – 2)$ $ Rightarrow = (4; – 1; – 2).$Lúc đó: $d(K;Delta ) = frac left< overrightarrow KB ,vec u ight> ightvec u = fracsqrt 14 2$ $ Rightarrow R = fracsqrt 14 2.$Vậy $(S):(x – 1)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = frac72.$Chọn đáp án B.

lấy ví dụ như 8: Trong không khí cùng với hệ tọa độ $Oxyz$, cho nhì điểm $A(1;2;4)$ với $B(0;1;3).$ Viết phương trình mặt cầu chổ chính giữa $A$ cùng tiếp xúc cùng với mặt đường thẳng $OB.$A. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 4)^2 = frac75.$B. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 4)^2 = frac74.$C. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 4)^2 = frac145.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 4)^2 = frac72.$

Lời giải:Mặt cầu $(S)$ trọng điểm $A$ với xúc tiếp cùng với $OB$ buộc phải có bán kính $R = d(A;OB).$$overrightarrow OA = (1;2;4).$Đường thẳng $OB$ gồm một vectơ chỉ pmùi hương là $overrightarrow OB = (0;1;3)$ $ Rightarrow = ( – 2;3; – 1).$Lúc đó: $d = frac = fracsqrt 35 5$ $ Rightarrow R = fracsqrt 35 5.$Vậy $(S):(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 4)^2 = frac75.$Chọn lời giải A.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Trong không khí cùng với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ bỏ điểm $A(1;0;1)$ cho con đường trực tiếp $Delta :fracx2 = fracy + 11 = fracz – 13.$A. $d = fracsqrt 266 14.$B. $d = fracsqrt 226 7.$C. $d = frac3sqrt 226 14.$D. $d = fracsqrt 226 14.$

Câu 2: Trong không khí cùng với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;1)$ và con đường thẳng $Delta :fracx2 = fracy + 11 = fracz – 13.$ $M$ là vấn đề bất kể bên trên $Delta $, tìm kiếm quý hiếm nhỏ tốt nhất của độ dài đoạn thẳng $AM.$A. $d = fracsqrt 226 7.$B. $d = fracsqrt 266 14.$C. $d = frac3sqrt 226 14.$D. $d = fracsqrt 226 14.$

Câu 3: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, mang đến hai điểm $A(1;0;1)$, $B(2;0;4)$ với mặt đường thẳng $Delta :fracx2 = fracy + 11 = fracz – 13.$ gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $Delta $, tính diện tích S $S$ của tam giác $AHB.$A. $S = fracsqrt 19 28.$B. $S = frac11sqrt 19 14.$C. $S = frac11sqrt 19 28.$D. $S = frac5sqrt 19 28.$

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mang đến hai điểm $P(2;1;3)$, $Q(0;-1;-1)$ với mặt đường thẳng $Delta :fracx2 = fracy + 11 = fracz – 13.$ Điện thoại tư vấn $M$ là điểm bất cứ trên $Delta $, kiếm tìm độ nhiều năm nhỏ duy nhất của vectơ $overrightarrow MP + overrightarrow MQ .$A. $fracsqrt 266 14.$B. $frac2sqrt 266 7.$C. $fracsqrt 266 7.$D. $frac5sqrt 266 7.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mang lại mặt đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 2 = fracy – 1 = fracz – 1 – 3$ và $Delta _2:fracx2 = fracy + 11 = fracz – 13.$ Tính khoảng cách $d$ giữa $Delta _1$ cùng $Delta _2.$A. $d = fracsqrt 266 14.$B. $d = frac2sqrt 266 7.$C. $d = fracsqrt 266 7.$D. $d = frac5sqrt 266 7.$

Câu 6: Trong không khí cùng với hệ tọa độ $Oxyz$, mang đến điểm $K(1;0;1)$ và mặt đường trực tiếp $Delta :fracx2 = fracy + 11 = fracz – 13.$ Viết phương thơm trình khía cạnh cầu trung ương $K$ với tiếp xúc với $Delta .$A. $(x – 1)^2 + y^2 + (z – 1)^2 = frac1914.$B. $(x – 1)^2 + y^2 + (z – 1)^2 = frac197.$C. $(x – 1)^2 + y^2 + (z – 1)^2 = frac194.$D. $(x – 1)^2 + y^2 + (z – 1)^2 = frac193.$

Câu 7: Trong không gian cùng với hệ tọa độ $Oxyz$, mang lại nhị điểm $A(1;2;4)$ và $B(0;1;3).$ Tính khoảng cách $d$ từ $A$ mang lại mặt đường trực tiếp $OB.$A. $d = fracsqrt 266 14.$B. $d = frac2sqrt 266 7.$C. $d = fracsqrt 266 7.$D. $d = frac5sqrt 266 7.$

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mang đến tam giác $ABC$, biết $A(1;1;1)$, $B(2; – 1;3)$ cùng $C( – 1;4;0).$ Tính độ dài $h$ của mặt đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC.$A. $h = fracsqrt 1118 43.$B. $h = fracsqrt 1118 23.$C. $h = frac2sqrt 1118 43.$D. $h = frac2sqrt 1118 23.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đến điểm $A(1;0;2)$ và đường thẳng $Delta :fracx1 = fracy – m2 = fracz + 12$, $m$ là tđê mê số thực. Tìm tập vừa lòng toàn bộ các quý giá thực của tyêu thích số $m$ nhằm khoảng cách trường đoản cú $A$ cho $Delta $ bởi $sqrt 2 .$A. $left – 1;frac235 ight.$B. $left 1; – frac235 ight.$C. $left – 1; – frac235 ight.$D. $left – frac235;frac235 ight.$

Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, mang lại $A(1;3;-2)$, $B(3;5;-12).$ Đường trực tiếp $AB$ giảm phương diện phẳng $Oyz$ tại $N.$ Tính tỉ số $fracBNAN.$A. $fracBNAN = 4.$B. $fracBNAN = 2.$C. $fracBNAN = 5.$D. $fracBNAN = 3.$