Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

      63

Bài viết giải đáp phương pháp vận dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn vì cha con đường cong, đây là dạng toán thù thường chạm mặt trong lịch trình Giải tích 12 chương thơm 3: Nguyên ổn hàm – Tích phân và Ứng dụng.

Bạn đang xem: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁPhường GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp vật dụng thị.+ Chia diện tích S hình phẳng thành tổng của những diện tích S hình phẳng giới hạn vì chưng nhì vật dụng thị.Cách 2:+ Vẽ những đồ thị bên trên và một hệ trục tọa độ.+ Từ đồ dùng thị phân tách diện tích S hình phẳng thành tổng của những diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn bởi nhì đồ vật thị.

II. BÀI TẬP.. TRẮC NGHIỆM MINH HỌAlấy ví dụ 1: hotline $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn vị đồ vật thị tía hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch men chéo cánh vào mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$


Lời giải:Từ thiết bị thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn đáp án C.

ví dụ như 2: Diện tích hình phẳng giới hạn vì những đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 dx $ $ + int_frac32^2 dx $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì những đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 left $ $ + int_3^6 left $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| left. frac7x^312 ight ight| + left| left. left( 54ln x – fracx^312 ight) ight ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn giải đáp B.

ví dụ như 4: Diện tích hình phẳng giới hạn do những mặt đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (do $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng thay đổi bên trên $R$ cùng $x=0$ là 1 trong những nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 3 – (1 – 2x) ight $ $ + int_0^ln 3 3 – e^x ight .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì những đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2xsqrt x 3 – 2x + fracx^22 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( 2x – fracx^22 ight) ight ight|$ $ = frac43.$Chọn câu trả lời A.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Vẽ Sơ Đồ Gantt Trong Word, Hướng Dẫn Cách Vẽ Sơ Đồ Gantt Trong Excel

lấy ví dụ như 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ với những tiếp tuyến đường của $(P)$ tại những giao điểm của $(P)$ với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết các tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Pmùi hương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ cùng với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương trình tiếp đường là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương thơm trình tiếp tuyến là: $y = 3x – 6.$Tìm những hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 dx $ $ + int_frac12^2 left .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn giải đáp D.

ví dụ như 7: Hình phẳng giới hạn do vật dụng thị hàm số $y = 3x – x^2$ và $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ gồm diện tích S là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn đáp án D.

lấy một ví dụ 8: call $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn do các đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ và trục $Ox.$ Khẳng định như thế nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn câu trả lời C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường nhánh cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, con đường trực tiếp $y = 3 – 2x$ và trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng các con đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ với trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn vị các mặt đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ với $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: call $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vày đồ dùng thị những hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ Khẳng định như thế nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$B. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$C. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 frac27x – x^2 ight .$D. $S = int_0^3 x^2 – frac27x ight $ $ + int_3^9 dx .$

Câu 5: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn vày hai đường nhánh cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ và con đường thẳng $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 x^2 – 0 ight $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn đáp án D.

Câu 2: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn giải đáp C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn lời giải A.

Câu 4: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$Chọn câu trả lời A.

Câu 5: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 4 – x^2 ight = frac83.$Chọn đáp án A.